MATRICES Y DETERMINANTES

¿QUÉ ES UNA MATRIZ?
Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en "m" filas y "n" columnas. Hay distintos tipos:

1. Cuadrada: mismo número de filas que de columnas
2. Rectangular: distinto número de filas que de columnas
3. Nula: todos sus elementos son ceros.
4. Unidad: los elementos de la diagonal principal son todos unos.

OPERACIONES CON MATRICES
- Suma y resta: se realiza sumando los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas matrices.
- Producto por un número (escalar): se obtiene multiplicando el número real por cada uno de los elementos de la matriz.
- Producto de dos matrices: se obtiene multiplicando ordenadamente los elementos de la fila de la primera matriz por los elementos de la columna de la segunda matriz y sumando los resultados.

MATRIZ TRASPUESTA
Se obtiene al cambiar las filas por columnas o las columnas por filas.

RANGO DE UNA MATRIZ
Utiliza el concepto de dependencia lineal de filas, columnas o vectores. Decimos que un vector depende linealmente de otros cuando se puede escribir como combinación lineal de ellos.
Las filas que son dependientes me dan la misma información. Para verlo triangulamos a ceros igual que para hacer la inversa y las filas que se anulen por completo no completan para el rango.

1. Triangulamos a ceros
2. Se anula la última fila
3. Se mira que pasa en el resto de la matriz

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1. Det (A) = |A| = determinante de la traspuesta de A (A^t)
2. Al multiplicar una fila (o columna) por un número el determinante queda multiplicado por ese número.
3. Si una fila o columna se divide en suma de dos, el determinante también y cada uno tiene una de ellas.
4. Al cambiar entre sí dos filas el determinante cambia de signo.
5. Un determinante con dos filas iguales vale 0.
6. Si a una fila de un determinante se le suma una combinación lineal de otras filas, el determinante no varía.
7. Un determinante con una fila de 0 vale 0.
8. Det (A·B) = det (A) · det (B)

MATRIZ INVERSA
Se puede realizar mediante:

• La definición:A · A^-1 = 1
• La fórmula: 

• Método de Gauss-Jordan: 

 

MATRIZ ADJUNTA